Question

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過它的右焦點(diǎn)引傾斜角為

π

4

的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，P，Q，到橢圓的右準(zhǔn)線的距離之和為

8

3

，它的左焦點(diǎn)到l的距離為

2

，它的左焦點(diǎn)到l的距離為

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），左焦點(diǎn)F₁（-c，0），右焦點(diǎn)F₁（c，0），（c＞0）直線l的方程為y=（x-c）tan

π

4

，即y=x-c，由（-c，0）到l的距離為

2

，得c=1，從而橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，聯(lián)立

y=x-c x2 a2 + y2 a2-1 =1

，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0，由此能求出橢圓方程．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
左焦點(diǎn)F₁（-c，0），右焦點(diǎn)F₁（c，0），（c＞0）
直線l的方程為y=（x-c）tan

π

4

，即y=x-c，
由（-c，0）到l的距離為

2

，
得

|-c-c|

2

=

2

，解得c=1，
∴橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
聯(lián)立

y=x-c x2 a2 + y2 a2-1 =1

，消去y，整理，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0，
∴x1+x2=

2a2

2a2-1

，①，
P，Q到右準(zhǔn)線距離之和為：

a2

c

-x1+

a2

c

-x2=

8

3

，
∴x1+x2=2a2-

8

3

，②
由①②得a²=2，∴b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．