Question

S={1，2，…，2003}，A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等差數(shù)列．那么，這樣的三元子集A的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、

  C

  2 2003

• B、

  C

  2 1001

  +

  C

  2 1002

• C、

  A

  2 1001

  +

  A

  2 1002

• D、

  A

  3 2003

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：排列組合

分析：1，2，…，2003個(gè)數(shù)中有1002個(gè)奇數(shù)，1001個(gè)偶數(shù)，依題意，A中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可分兩類：①3個(gè)數(shù)中有至少2個(gè)奇數(shù)，②3個(gè)數(shù)中有至少2個(gè)偶數(shù)，利用組合數(shù)公式即可求得答案．

解答： 解：1，2，…，2003個(gè)數(shù)中有1002個(gè)奇數(shù)，1001個(gè)偶數(shù)，
依題意，A中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可分兩類：
①3個(gè)數(shù)中有至少2個(gè)奇數(shù)：從1002個(gè)奇數(shù)里邊任意選兩個(gè)，一定找到另外唯一的一個(gè)與這兩個(gè)奇數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，共有

C

2 1002

種方法；
②3個(gè)數(shù)中有至少2個(gè)偶數(shù)：同理可得，共有

C

2 1001

種方法；
綜上所述，共有

C

2 1001

+

C

2 1002

個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的概念，突出考查排列組合的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．