Question

設(shè)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且對任意x，y∈R都有f（x）-f（y）=f（x-y），當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞0，f（1）=-5，求f（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)定義，先確定函數(shù)的單調(diào)性，不妨令x₁＜x₂，然后根據(jù)f（x）-f（y）=f（x-y），當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞0，可以判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，從而得到單調(diào)性，利用賦值法結(jié)合f（1）=5，可得f（2）或f（-2）的值，從而確定最值．

解答： 解：設(shè)-2≤x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0
由題意得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），故該函數(shù)在[-2，2]上遞減；
所f（x）_max=f（-2），
又f（1）=-5，令x=2，y=1得：
f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
所以f（2）=2f（1）=-10，
所以f（-2）=-f（2）=10，
故f（x）_max=10．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，以及函數(shù)最值的求法．