Question

已知函數(shù).

（1）試問的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）定義，其中，求；

（3）在（2）的條件下，令.若不等式對且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式的特點直接代入計算的值；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項與倒數(shù)第項的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達式，進而可以求出的值；（3）先利用和之間的關系求出數(shù)列的通項公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進行分離，轉化為恒成立的問題進行處理，最終利用導數(shù)或作差（商）法，通過利用數(shù)列的單調性求出的最小值，最終求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）的值為定值2.

證明如下：

.

（2）由（1）得.

令，則.

因為①，

所以②，

由①+②得，所以.

所以.

（3）由（2）得，所以.

因為當且時，

.

所以當且時，不等式恒成立.

設，則.

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增.

因為，所以，

所以當且時，.

由，得，解得.

所以實數(shù)的取值范圍是.

考點：函數(shù)、倒序相加法、導數(shù)