Question

如圖，ABC-A₁B₁C₁是地面邊長為2，高為

3

2

的正三棱柱，經(jīng)過AB的截面與上底面相交于PQ，設C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（1）證明：PQ∥A₁B₁；
（2）是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由正三棱柱的性質可知，上下兩個底面平行，由兩個平面平行的性質定理可得PQ∥AB，由此能證明PQ∥A₁B₁．
（2）假設存在這樣的λ滿足題設，分別取AB的中點D，PQ的中點E，連接DE，由已知得∠CED為二面角A-PQ-C的平面角，連接C₁E并延長，交A₁B₁于F，若平面CPQ⊥截面APQB，則CE²+DE²=CD²，由此能求出λ=

1

2

．

解答： （1）證明：由正三棱柱的性質可知，上下兩個底面平行，
且截面APQB∩上底面A₁B₁C₁=PQ，截面APQB∩下底面ABC=AB，
由兩個平面平行的性質定理可得PQ∥AB，
∴PQ∥A₁B₁．…（6分）
（2）解：假設存在這樣的λ滿足題設，
分別取AB的中點D，PQ的中點E，連接DE，
由（1）及正三棱柱的性質可知△CPQ為等腰三角形，APQB為等腰梯形，
∴CE⊥PQ，DE⊥PQ，
∴∠CED為二面角A-PQ-C的平面角，…（8分）
連接C₁E并延長，交A₁B₁于F，
由（1）得，

C1P

C1A1

=

C1E

C1F

=λ，C1A1=2，C1F=

3

，
∴C1E=

3

λ，EF=

3

(1-λ)，…（9分）
在Rt△CC₁E中，CE2=

3

4

+3λ2，在Rt△DFE中，DE²=

3

4

+(1-λ)2，
若平面CPQ⊥截面APQB，則∠CED=90°，
∴CE²+DE²=CD²，將以上數(shù)據(jù)代入整理，
得3λ²-3λ+

3

4

=0，解得λ=

1

2

．…（13分）

點評：本題考查線線平行的證明，考查使得面面垂直的實數(shù)值是否存在的判斷與求法，考查方程思想、等價轉化思想等數(shù)學思想方法和學生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，是中檔題．