Question

平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為

6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）問(wèn)是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．若存在，寫出直線m的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心O到直線x-y+1=0的距離，再由已知的弦長(zhǎng)，利用垂徑定理及勾股定理求出圓O的半徑，寫出圓O的方程即可；
（2）設(shè)出直線l的截距式方程，由直線l與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)系式，表示出DE的平方，將得出的關(guān)系式代入，整理后利用基本不等式求出DE平方的最小值，得到此時(shí)a與b的值，即可確定出此時(shí)直線l的方程；
（2）存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，理由為：假設(shè)存在，設(shè)直線m方程為y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線m與圓O方程聯(lián)立組成方程組，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，且得到根的判別式大于0，由以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，得到

OA

⊥

OB

，即數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，整理后將表示出兩根之和與兩根之積代入，得到關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，即可得到直線m的方程．

解答：解：（1）∵圓心O到直線x-y+1=0的距離d=

1

2

，直線截圓所得的弦長(zhǎng)為

6

，
∴圓O的半徑r=

( 1 2 )2+( 6 2 )2

=

2

，
則圓O的方程為x²+y²=2；
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直線l與圓O相切，∴圓心到直線的距離d=r，即

|ab|

a2+b2

=

2

，
整理得：

1

a2

+

1

b2

=

1

2

，
則DE²=a²+b²=2（a²+b²）•（

1

a2

+

1

b2

）=2（2+

b2

a2

+

a2

b2

）≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l方程為x+y-2=0；
（3）存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，理由為：
設(shè)存在斜率為2的直線m滿足題意，
設(shè)直線m為y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立圓與直線解析式得：

x2+y2=2 y=2x+b

，
消去y得：5x²+4bx+b²-2=0，
依題意得：x₁+x₂=-

4b

5

，x₁x₂=

b2-2

5

，△＞0，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（2x₁+b）（2x₂+b）=5x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=5×

b2-2

5

+2b×（-

4b

5

）+b²=0，
整理得：b²=5，
解得：b=±

5

，經(jīng)檢驗(yàn)△＞0，符合題意，
則存在斜率為2的直線m滿足題意，直線m為：y=2x±

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，垂徑定理，勾股定理，直線的截距式方程，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵．