Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.

（1）求二面角的大��；

（2）求異面直線與的距離；

（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值，由此求得其大小.

（2）求得異面直線與的公垂線的方向向量，并由此計(jì)算出異面直線與的距離.

（3）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)、與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷出存在點(diǎn)符合題意.

（1）側(cè)面底面，又均為正三角形，取得中點(diǎn)，連接，，

則底面，

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面的法向量為

取，可得

又平面的一個(gè)法向量為

由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.

（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則

易得，異面直線與的距離

（3），而

又，點(diǎn)的坐標(biāo)為

假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為

平面為平面的一個(gè)法向量，

由，得.

又平面，

故存在點(diǎn)，使平面，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn).