Question

【題目】大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)在高二年級(jí)舉辦線上數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，在已報(bào)名的400名學(xué)生中，根據(jù)文理學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）估算一下本次參加考試的同學(xué)成績的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；

（3）已知樣本中有一半理科生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中理科生和文科生人數(shù)的比例.

Answer 1

【答案】（1）中位數(shù)為72.5，眾數(shù)為75（2）20（3）3∶2

【解析】

（1）算出每組的概率，進(jìn)而找到50%落在哪個(gè)組，代入計(jì)算即可求解中位數(shù)，眾數(shù)很明顯在最高出中間位置產(chǎn)生；（2）先算出總體多少人再乘以[40，50)的概率即可求解；（3）先算出總共分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)， 從而算出樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的理科生人數(shù)，再得到文科生人數(shù)即可求解。

解析：（1）可以估計(jì)出中位數(shù)為72.5，眾數(shù)為75.

（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5.

所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×＝20.

（3）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，

所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的理科生人數(shù)為60×＝30.所以樣本中的理科生人數(shù)為30×2＝60，文科生人數(shù)為100－60＝40，

所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中理科生和文科生人數(shù)的比例估計(jì)為60∶40＝3∶2.