已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)定義:若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為,則稱區(qū)間為函數(shù)的“域同區(qū)間”.試問函數(shù)上是否存在“域同區(qū)間”?若存在,求出所有符合條件的“域同區(qū)間”;若不存在,請說明理由.

 

1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析:1)先求出函數(shù)的定義域與導數(shù),求出極值點,解有關導數(shù)的不等式,從而確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間;(2)結合(1)中的結論可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,根據(jù)定義得到,,問題轉(zhuǎn)化為求方程在區(qū)間上的實數(shù)根,結合導數(shù)來討論方程在區(qū)間上的實根的個數(shù),從而確定函數(shù)在區(qū)間上是否存在“域同區(qū)間”.

試題解析:1,定義域為

,

,即,解得;令,即,解得

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

2)由(1)知,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),

假設函數(shù)在區(qū)間上存在“域同區(qū)間”,則有,,

則方程在區(qū)間上有兩個相異實根,

構造新函數(shù),定義域為

,

,則,

時,,則恒成立,

因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,

故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點,則有

時,;當時,,

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),

因為,

所以函數(shù)在區(qū)間有且只有一個零點,

這與方程有兩個大于的實根相矛盾,所以假設不成立!

所以函數(shù)在區(qū)間上不存在“域同區(qū)間”.

考點:1.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;2.新定義;3.函數(shù)的零點

 

練習冊系列答案
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物理

成績好

物理

成績不好

合計

數(shù)學成績好

62

23

85

數(shù)學成績不好

28

22

50

合計

90

45

135

那么有把握認為數(shù)學成績與物理成績之間有關的百分比為(  )

(A)25%  (B)75%  (C)95%  (D)99%

 

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,其中

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