Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d（a＞0）的圖象如圖．
（Ⅰ）求c，d的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x₀=5，方程f（x）=8a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（0）=3，且f′（1）=0，解方程可得c，d的值；
（Ⅱ）依題意可得f′（2）=-3且f（2）=5，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（Ⅲ）求出導(dǎo)數(shù)，f′（5）=0可得b=-9a，再由圖象可得方程f（x）=8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足f（5）＜8a＜f（1），解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b，
（Ⅰ）由題圖可知，函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，3），且f′（1）=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3a+2b+c-3a-2b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{d=3}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）依題意可得f′（2）=-3且f（2）=5，得
$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-3a-2b=-3}\\{8a+4b-6a-4b+3=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x³-6x²+9x+3；
（Ⅲ）依題意f（x）=ax³+bx²+（-3a-2b）x+3（a＞0），
f′（x）=3ax²+2bx-3a-2b，
由f′（5）=75a+10b-3a-2b=0，解得b=-9a，
即有f（x）=ax³-9ax²+15ax+3，
若方程f（x）=8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足f（5）＜8a＜f（1），
可得3-25a＜8a＜3+7a，解得$\frac{1}{11}$＜a＜3，
所以，當(dāng)?shù)?\frac{1}{11}$＜a＜3時(shí)，方程f（x）=8a有三個(gè)不同的根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．