Question

函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0（mn＞0）上，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：最值問題長(zhǎng)利用均值不等式求解，適時(shí)應(yīng)用“1”的代換是解本題的關(guān)鍵．函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，知A（1，1），點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的變換構(gòu)造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），由點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，
∴m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

m+n

m

+

m+n

n

=2+

n

m

+

m

n

≥2+2•

n m • m n

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)取等號(hào)．
故答案為4．．

點(diǎn)評(píng)：均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應(yīng)用十分廣泛．在應(yīng)用過程中，學(xué)生常忽視“等號(hào)成立條件”，特別是對(duì)“一正、二定、三相等”這一原則應(yīng)有很好的掌握．當(dāng)均值不等式中等號(hào)不成立時(shí)，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值．也可將已知條件適當(dāng)變形，再利用均值不等式，使得等號(hào)成立．有時(shí)也可利用柯西不等式以確保等號(hào)成立，取得最值．