Question

已知函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，則m+n的最小值為

4

．

Answer 1

分析：求出定點A（1，1），由點A在直線

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，可得

1

m

+

1

n

=1，再由 m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

，利用基本不等式求出m+n的最小值．

解答：解：∵函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（1，1），點A在直線

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，
∴

1

m

+

1

n

=1，∴m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

．
∵m＞0，n＞0，由基本不等式可得

n

m

+

m

n

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

m

n

時，等號成立．
再由

1

m

+

1

n

=1可得，當(dāng)且僅當(dāng) m=n=2時，等號成立．
故 m+n=2+

n

m

+

m

n

≥4，當(dāng)且僅當(dāng) m=n=2時，等號成立．
故m+n的最小值為4，
故答案為 4．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，基本不等式的應(yīng)用，得到 m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

），是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．