Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b，a，b∈R的圖象記為曲線E，過(guò)一點(diǎn)A（

1

2

，-

3

8

）作曲線E的切線，這樣的切線有且僅有兩條．
（Ⅰ）求a+2b的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)A在曲線E上，對(duì)任意的x∈[0，1]，求證：f（x）+|a+3b+1|+

1

2

≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率相等列出方程，由條件知方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，即只要函數(shù)的兩個(gè)極值中有一個(gè)為0，即可得到答案；
（Ⅱ）分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論．

解答： （I）解：∵f（x）=x³+ax+b，a，b∈R，
∴f'（x）=3x²+a
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線方程為y-y0=(3

x

2 0

+a)(x-x0)，
將點(diǎn)A(

1

2

，-

3

8

)代入得-

3

8

-y0=(3

x

2 0

+a)(

1

2

-x0)可化為16

x

3 0

-12

x

2 0

-4a-8b-3=0．
設(shè)g（x）=16x³-12x²-4a-8b-3，
∵g'（x）=48x²-24x，
∴y=g（x）的極值點(diǎn)為0，

1

2

，
∵過(guò)點(diǎn)A(

1

2

，-

3

8

)作曲線E的切線，這樣的切線有且僅有兩條，
∴g(0)=0或g(

1

2

)=0，
∴a+2b=-

3

4

或a+2b=-1
（Ⅱ）證明：∵點(diǎn)A在曲線E上，
∴a+2b=-1f(x)+|b|+

1

2

=x3+ax+b+|b|+

1

2

當(dāng)b≤0時(shí)，左邊=x3+ax+

1

2

=x3+(-1-2b)x+

1

2

令函數(shù)h(x)=x3+(-1-2b)x+

1

2

(0≤x≤1)，∵h(yuǎn)'（x）=3x²-（1+2b）
當(dāng)1+2b≤0時(shí)h'（x）≥0，函數(shù)y=h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)=

1

2

≥0
當(dāng)1+2b＞0即0＞b＞-

1

2

時(shí)，由h'（x）＞0得x＞

2b+1 3

∴函數(shù)y=h（x）在[0，

2b+1 3

]上單調(diào)遞減，在[

2b+1 3

，1]上單調(diào)遞增，
∴h(x)≥h(

2b+1 3

)=

2b+1

3

2b+1 3

-(2b+1)

2b+1 3

+

1

2

=-

2(2b+1)

3

2b+1 3

+

1

2

≥-

2

3

1 2

+

1

2

＞0；
當(dāng)b＞0時(shí)，左邊=x3+(-1-2b)x+2b+

1

2

，
令函數(shù)k(x)=x3+(-1-2b)x+2b+

1

2

(0≤x≤1)，
∵k'（x）=3x²-（-1-2b），由k'（x）＞0得x＞

2b+1 3

當(dāng)

2b+1 3

≥1時(shí)，即b≥1時(shí)，函數(shù)y=k（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，k(x)≥k(1)=

1

2

≥0
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，函數(shù)y=k（x）在[0，

2b+1 3

]上單調(diào)遞減，在[

2b+1 3

，1]上單調(diào)遞增k(x)≥k(

2b+1 3

)=-

2(2b+1)

3

2b+1 3

+(2b+1)-

1

2

令函數(shù)m(b)=-

2(2b+1)

3

2b+1 3

+(2b+1)-

1

2

設(shè)

2b+1 3

=t∈(

3

3

，1)，m(t)=-2t3+3t2-

1

2

在(

3

3

，1)上單調(diào)遞增，
∴m(t)＞m(

3

3

)＞0
綜上所述：f(x)+|a+3b+1|+

1

2

≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．