Question

函數(shù)g（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax在區(qū)間（-∞，

a

3

）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，a/3）遞減，則g′（x）在（-∞，a/3）上小于等于0，討論（1）a=0時(shí)，（2）a＞0，（3）a＜0時(shí)的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：∵g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，g（x）在（-∞，a/3）遞減，
則g′（x）在（-∞，a/3）上小于等于0
（1）a=0時(shí)，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的減區(qū)間是（-∞，0），
∴

a

3

≤0，才能g（x）在（-∞，

a

3

）遞減，解得a=0
（2）a＞0，g′（x）是一個(gè)開口向上的拋物線，
要使g′（x）在（-∞，

a

3

）上小于等于0 解得：a無解
（3）a＜0，g′（x）是一個(gè)開口向下的拋物線，
設(shè)g′（x）與x軸的左右兩交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0）
由韋達(dá)定理，知x₁+x₂=-

4(1-a)

3a

，x₁x₂=-1，
解得：x₁=-

-2(1-a)+ 10a2-2a+1

3a

，
則在A左邊和B右邊的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（-∞，

a

3

）遞減，
即g′（x）在（-∞，

a

3

）上小于等于0，
∴x₁≥

a

3

，解得-1≤a≤5，取交集，得-1≤a＜0，
∴a的取值范圍是-1≤a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．