Question

（1）把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，求不同的分法種數(shù)
（2）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，求不同的取法的種數(shù)．

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應用

專題：排列組合

分析：（1）本題可以采用‘擋板法”來解題，任選三個插入擋板把數(shù)分成四組，把兩個連續(xù)的空未插入擋板出現(xiàn)三個數(shù)字相連的情況去掉，把分成的四部分在四個位置上排列，得到結果．
（2）由題意知從10個點中任取4個點有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結果，4點共面的情況有三類，取出的4個點位于四面體的同一個面上；取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點；由中位線構成的平行四邊形，用所有的結果減去不合題意的結果即可得答案．

解答： （1）解：∵要把6張票分給4個人，∴要把票分成四份，
∵1，2，3，4，5，6之間有五個空，
任選三個插入擋板把數(shù)分成四組共有C₅³種結果，
其中如果有兩個連續(xù)的空未插入擋板，則出現(xiàn)三個數(shù)字相連，
共有4種情況要排除掉（具體為第一、二；第二、三；第三、四；第四、五空隙未插擋板）
把分成的四部分在四個位置上排列，
∴有（C₅³-4）×A₄⁴=144，
（2）：10個點任取4個點取法有

C

4 10

種，其中面ABC內的6個點中任意4點都共面，從這6點中任取4點有

C

4 6

種，同理在其余3個面內也有

C

4 6

種，又每條棱與相對棱中點共面有6種，各棱中點中4點共面的有3種，故10個點中取4點，不共面的取法共有

C

4 10

-4

C

4 6

-6-3=141種．

點評：本題是一個限制條件比較多的問題，是一個實際問題，排列組合問題在實際問題中的應用，在計算時要求做到兼顧所有的條件，先排約束條件多的元素，做到不重不漏，注意實際問題本身的限制條件．