試題分析:(Ⅰ)由x=0是函數(shù)f(x)=(x
2+ax+b)e
x(x∈R)的一個極值點,f
′(0)=0,得到關(guān)于a,b的一個方程,函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線的斜率為2e
2,f
′(2)=2e
2;得到一個關(guān)于a,b的一個方程,解方程組求出a,b即可;
(Ⅱ)把求得的f′(x)代入g(x),方程g(x)=(m-1)
2在區(qū)間(-2,m)上是否存在實數(shù)根,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,m)上的單調(diào)性、極值、最值問題.
解:(I)
………………1分
由
……………………2分
又
,故
………3分
令
得
或
令
得
………………4分
故
,單調(diào)增區(qū)間是
,單調(diào)減區(qū)間是
……5分.
(Ⅱ)解:假設(shè)方程
在區(qū)間
上存在實數(shù)根
設(shè)
是方程
的實根,
,………………6分
令
,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程
=0
在
上有實根,并討論解的個數(shù)……………………7分
因為
,
,
所以 ①當(dāng)
時,
,所以
在
上有解,且只有一解.…………………………9分
②當(dāng)
時,
,但由于
,
所以
在
上有解,且有兩解 ……………………………10分
③當(dāng)
時,
,所以
在
上有且只有一解;
當(dāng)
時,
,
所以
在
上也有且只有一解…………………………………12分
綜上, 對于任意的
,方程
在區(qū)間
上均有實數(shù)根且當(dāng)
時,有唯一的實數(shù)解;當(dāng)
時,有兩個實數(shù)解……14分
點評:解決該試題的關(guān)鍵是方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,并能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。