(本題滿分14分)
已知是函數(shù)的一個極值點,且函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為2.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間.(5分)
(Ⅱ)設(shè),其中,問:對于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實數(shù)根?若存在,請確定實數(shù)根的個數(shù).若不存在,請說明理由.(9分)
(I),單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;
(Ⅱ)對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當(dāng)時,有唯一的實數(shù)解;當(dāng)時,有兩個實數(shù)解。

試題分析:(Ⅰ)由x=0是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一個極值點,f(0)=0,得到關(guān)于a,b的一個方程,函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線的斜率為2e2,f(2)=2e2;得到一個關(guān)于a,b的一個方程,解方程組求出a,b即可;
(Ⅱ)把求得的f′(x)代入g(x),方程g(x)=(m-1)2在區(qū)間(-2,m)上是否存在實數(shù)根,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,m)上的單調(diào)性、極值、最值問題.
解:(I)………………1分
……………………2分
,故………3分

………………4分
,單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是……5分.
(Ⅱ)解:假設(shè)方程在區(qū)間上存在實數(shù)根
設(shè)是方程的實根,,………………6分
,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0
上有實根,并討論解的個數(shù)……………………7分
因為,
所以 ①當(dāng)時,,所以上有解,且只有一解.…………………………9分
②當(dāng)時,,但由于,
所以上有解,且有兩解 ……………………………10分
③當(dāng)時,,所以上有且只有一解;
當(dāng)時,,
所以上也有且只有一解…………………………………12分
綜上, 對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當(dāng)時,有唯一的實數(shù)解;當(dāng)時,有兩個實數(shù)解……14分
點評:解決該試題的關(guān)鍵是方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,并能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。
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(10分)設(shè)函數(shù).
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⑵ 若關(guān)于的方程有3個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍.
⑶ 已知當(dāng)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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      ②

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曲線在點處的切線方程為       

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已知函數(shù),
(1)當(dāng)時, 若個零點, 求的取值范圍;
(2)對任意, 當(dāng)時恒有, 求的最大值, 并求此時的最大值。

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