Question

已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，且函數(shù)f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]時(shí)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，由題意得方程組解出即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，則c=0，

由題意得：

f(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b f(x)+x+1=ax2+(b+1)x+1

，
∴

2a+b=b+1 a+b=1

，解得：

a= 1 2 b= 1 2

，
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x；
（2）f（x）=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

，x∈[-1，2]，最小值為f（-

1

2

）=-

1

8

，
最大值為f（2）=3，
∴值域是[-

1

8

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的求解析式問(wèn)題，考查了函數(shù)的值域問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．