Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=f（a+1），a₂=3，a₃=f（a-1），其中a為實(shí)數(shù)，f（x）=x²-4x+5．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，設(shè)b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列中，a₂是a₁與a₃的等差中項(xiàng)則有2a₂=a₁+a₃，列出關(guān)于a的方程，并求出a，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式中求出通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=2ⁿa_n，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴2a₂=a₁+a₃
又∵a₁=f（a+1）=（a+1）²-4（a+1）+5，a₃=f（a-1）=（a-1）²-4（a-1）+5，a₂=3，
∴（a+1）²-4（a+1）+5+（a-1）²-4（a-1）+5=6，解得a=1或a=3．
當(dāng)a=1時(shí)，a₁=f（2）=1，公差d=2，∴通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
當(dāng)a=3時(shí)，a₁=f（4）=5，公差d=-2，∴通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d=7-2n．
故當(dāng)a=1時(shí)，通項(xiàng)公式a_n=2n-1，
當(dāng)a=3時(shí)，通項(xiàng)公式a_n=7-2n；
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，∴a_n=2n-1，
則b_n=2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
∴Sn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n，
2Sn=1•22+3•23+…+(2n-1)•2n+1，
作差得-Sn=2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n-1)•2n+1
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1=2+2ⁿ⁺²-8-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的等差中項(xiàng)這個(gè)性質(zhì)，以及函數(shù)的分類討論思想，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．