Question

如圖，拋物線f（x）=x²（0＜x＜1）在點M（t，f（t））處的切線為l，l與x軸和直線x=1分別交于點P，Q，直線x=1與x軸的交點為N，設(shè)△PQN的面積為g（t）
（Ⅰ）求函數(shù)g（t）的解析式；
（Ⅱ）若△PQN的面積g（t）為s時，拋物線f（x）=x²（0＜x＜1）上恰好有兩個切點M，求s的取值范圍及對應的切點M橫坐標t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）設(shè)M（t，t²），利用導數(shù)求出函數(shù)在M點處的切線方程，求出P，Q點的坐標，由三角形的面積公式求出△PQN的面積，即可得到g（t）的解析式；
（Ⅱ）由面積等于s整理，得到t³-4t²+4t=4s，令h（t）=t³-4t²+4t，由導數(shù)求出h（t）的最大值，再求出h（0），h（1）的值，從而得到△PQN的面積為s時點M恰好有兩個時的4s的范圍，即可得到s的范圍，再求對應的t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點M（t，t²），
由f（x）=x²（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，
∴過點M的切線PQ的斜率k=2t．
∴切線PQ的方程為y=2tx-t²．
取y=0，得x=

t

2

，
取x=1，得y=2t-t²，
∴P（

t

2

，0）、Q（1，2t-t²），
∴S_△PQN=

1

2

（2t-t²）（1-

t

2

）=

1

4

t（t-2）²，
即有g(shù)（t）=

1

4

t（t-2）²；
（Ⅱ）s=

1

4

t（t-2）²，0＜t＜1．
整理得：t³-4t²+4t-4s=0．
即t³-4t²+4t=4s．
令h（t）=t³-4t²+4t，
則h′（t）=3t²-8t+4，
由h′（t）=0，解得t₁=

2

3

，t₂=2（舍）．
∴當t∈（0，

2

3

時，h′（t）＞0，h（t）為增函數(shù)．
當t∈（

2

3

，+∞）時，h′（t）＜0，h（t）為減函數(shù)．
∴當t=

2

3

時，h（t）有極大值，也就是（0，1）上的最大值為

32

27

．
又h（0）=0，h（1）=1．
∴要使△PQN的面積為S時點M恰好有兩個，
則1＜4s＜

32

27

，即

1

4

＜s＜

8

27

．
∴s的取值范圍為（

1

4

，

8

27

）．
令h（t）=1，即有t³-4t²+4t-1=0，
解得t=1或

3- 5

2

或

3+ 5

2

（舍去），
即有t∈（

3- 5

2

，

2

3

）∪（

2

3

，1）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了分離變量法，是中檔題．