Question

【題目】在斜三棱柱中，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，、分別為、的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析； (2) .

【解析】

（1）結(jié)合菱形的性質(zhì)和勾股定理，證得，再由，得到，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線為軸，以射線為軸，過(guò)向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）由題意，因?yàn)?/span>是菱形，，為中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>是直角三角形的斜邊的中線，

故，又，，

所以，所以是直角三角形，∴，

因?yàn)?/span>，所以平面，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以，所以平面.

（2）由（1）知平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，

又由，所以平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線為軸，以射線為軸，過(guò)向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則軸，

則，，，，，

，，，

由（1）知平面，∴平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，，，

則，即，

令，則，.即，

所以，

所以，

故二面角的正弦值為.