Question

當0≤x≤

1

2

時，|ax-2x²|≤

1

2

恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：若當0≤x≤

1

2

時，|ax-2x²|≤

1

2

恒成立，即-

1

2

≤ax-2x²≤

1

2

恒成立，即2x²-ax-

1

2

≤0和2x²-ax+

1

2

≥0恒成立，即

a≥ 2x2- 1 2 x a≤ 2x2+ 1 2 x

恒成立，進而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，得到答案．

解答： 解：若當0≤x≤

1

2

時，|ax-2x²|≤

1

2

恒成立，
即當0≤x≤

1

2

時，-

1

2

≤ax-2x²≤

1

2

恒成立，
即當0≤x≤

1

2

時，2x²-ax-

1

2

≤0和2x²-ax+

1

2

≥0恒成立，
即當0≤x≤

1

2

時，
解得：

a≥ 2x2- 1 2 x a≤ 2x2+ 1 2 x

恒成立，
∵當0≤x≤

1

2

時，y=

2x2- 1 2

x

為增函數(shù)，當x=

1

2

時，函數(shù)取最大值0，
當0≤x≤

1

2

時，y=

2x2+ 1 2

x

為減函數(shù)，當x=

1

2

時，函數(shù)取最小值2，
故

a≥0 a≤2

，
即實數(shù)a的取值范圍是[0，2]，
故答案為：[0，2]

點評：本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性和最值，是函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．