Question

已知a∈R，函數f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當x∈[0，2]時，求曲線y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若a＜

2

3

，求|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，求出函數取x=1時的導數值及f（1），由直線方程的點斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，分類討論，即可得出曲線y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）分類討論求|f（x）|的最大值．根據a的范圍分析區(qū)間端點值與極值絕對值的大小．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a-3）x-3a+4；
（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故當a≤0時，有f′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減；
當a≥1時，有f′（x）≥0，此時f（x）在[0，2]上單調遞增；
當0＜a＜1時，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-

1-a

，x₂=1+

1-a

．
所以，當x∈（0，x₁）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
（Ⅲ）當a≤0時，有f′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
當0＜a＜

2

3

時，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x₁=1-

1-a

，x₂=1+

1-a

．
所以，當x∈（0，x₁）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
所以函數f（x）的極大值f（x₁）=1+2（1-a）

1-a

，極小值f（x₂）=1-2（1-a）

1-a

，
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0．
從而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
當0＜a＜

2

3

時，f（x₁）＞f（0）＞|f（2）|．
故|f（x）|_max=f（x₁）=1+2（1-a）

1-a

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，正確的分類是解答的關鍵，此題屬于難題．