Question

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-（

3

2

x²+1）•

OB

-[ln（2+3x）-y]•

OC

=

0

．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意x∈[

1

6

，

1

3

]不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）三點關(guān)系的等價條件，建立條件關(guān)系即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立進行參數(shù)分離，然后求出對應(yīng)函數(shù)的最小值與最大值，即可求得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-（

3

2

x²+1）•

OB

-[ln（2+3x）-y]•

OC

=

0

．
即

OA

=（

3

2

x²+1）•

OB

+[ln（2+3x）-y]•

OC

，
∵A、B、C是直線l上不同的三點
∴（

3

2

x²+1）+[ln（2+3x）-y]=1，
即y=

3

2

x²+ln（2+3x），
∴f（x）=

3

2

x²+ln（2+3x）；
（Ⅱ）∵f（x）=

3

2

x²+ln（2+3x），
∴f'（x）=3x+

3

2+3x

，
∴原不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0等價為|a-lnx|-ln

3

2+3x

＞0．
即|a-lnx|＞1n

3

2+3x

．
∴a＞lnx+1n

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

或a＜lnx-1n

3

2+3x

=ln

2x+3x2

3

．
設(shè)h（x）=ln

3x

2+3x

，g（x）=ln

2x+3x2

3

．
∵x∈[

1

6

，

1

3

]時，函數(shù)y=

3x

2+3x

，和y=

2x+3x2

3

都是增函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）=ln

3x

2+3x

，g（x）=ln

2x+3x2

3

也是增函數(shù)．
∴當且進行a＜g（

1

6

）或a＞h（

1

3

），
即a＜ln

5

36

或a＞ln

1

3

．

點評：本題主要考查不等式恒成立的應(yīng)用，考查向量知識，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用三點關(guān)系的等價條件，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大．