Question

袋中有大小相同的五個(gè)球，偏號(hào)分別為1，2，3，4，5，從袋中每次任取一個(gè)球，記下其編號(hào)．若所取球的編號(hào)為奇數(shù)，把該球編號(hào)改為2后放回袋中繼續(xù)取球，若所取球的編號(hào)為偶數(shù)，則停止取球．
（Ⅰ）求“第三次取球后停止取球”的概率；
（Ⅱ）若第一次取到奇數(shù)，記第二次與第一次取球的編號(hào)之和為ζ，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能求“第三次取球后停止取球”的概率；
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出ζ的可能取值，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“第三次取球后才停止取球”為事件A．
∴第一次取到奇數(shù)球的概率為

3

5

，第二次取球時(shí)袋中有2個(gè)奇數(shù)，
∴第二次取到奇數(shù)球的概率為

2

5

，第三次取球時(shí)袋中有2個(gè)偶數(shù)球，
而這三次取球相互獨(dú)立，
∴P（A）=

3

5

×

2

5

×

4

5

=

24

125

；
（Ⅱ）若第一次取到1時(shí)，第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為2，2，3，4，5的五個(gè)球；
若第一次取到3時(shí)，第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1，2，2，4，5的五個(gè)球；
第一次取到5時(shí)，第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1，2，2，3，4的五個(gè)球．
∴ζ的可能取值為3，4，5，6，7，8，9
P（ζ=3）=

1

3

×

2

5

=

2

15

，P（ζ=4）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，P（ζ=5）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

2

5

=

3

15

，
P（ζ=6）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，P（ζ=7）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

2

5

=

3

15

，P（ζ=8）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，
P（ζ=9）=

1

3

×

1

5

=

1

15

，
∴ζ的分布列為

ζ	3	4	5	6	7	8	9
P	2 15	2 15	3 15	2 15	3 15	2 15	1 15

數(shù)學(xué)期望Eζ=3×

2

15

+4×

2

15

+5×

3

15

+6×

2

15

+7×

3

15

+8×

2

15

+9×

1

15

=

87

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)．求出隨機(jī)變量ζ所有可能的取值的概率，是解題的難點(diǎn)．