Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的值；

（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天.

（i）求的表達(dá)式；

（ii）估計(jì)的近似值（精確到0.01）.

參考數(shù)值：，，.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）（ii）

【解析】

（1）先討論取不同范圍內(nèi)的值時(shí)函數(shù)的定義域，并根據(jù)函數(shù)值判斷出是的極小值點(diǎn)。通過極值點(diǎn)處，求得導(dǎo)函數(shù)代入即可求得的值。求出的值后，再代回函數(shù)，證明即可。

（2）每個(gè)人生日都不同的概率為，所以根據(jù)對立事件的概率即可求得至少有兩個(gè)人生日相同的概率。

將代入i中得到的式子，可得，令，左右同取對數(shù)則，進(jìn)而可得t的范圍，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得的近似值。

（1）由題得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，

又，且，

所以是的極小值點(diǎn)，故.

而，于是，解得.

下面證明當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，，，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以，即符合題意.

綜上，.

（2）（i）由于人生日都不相同的概率為，

故人生日至少有兩人相同的概率為.

（ii）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

由（i）得.

記，

則，

即

由參考數(shù)值得

于是

故.