Question

12．函數$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+2}}}+\sqrt{{x^2}+2}$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$（t≥$\sqrt{2}$），則函數y=t+$\frac{1}{t}$，求出導數，判斷單調性，即可得到最小值．

解答 解：令t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$（t≥$\sqrt{2}$），
則函數y=t+$\frac{1}{t}$，
導數y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
由t²≥2，0＜$\frac{1}{{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
即有y′＞0，
函數y在[$\sqrt{2}$，+∞）遞增，
可得t=$\sqrt{2}$，即x=0時，函數取得最小值，且為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用換元法，由導數判斷單調性，考查運算能力，屬于中檔題．