Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的焦距為2，過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的面積為$\frac{4}{3}$π，過橢圓C的右焦點作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，線段AB的中點為P．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點P垂直于AB的直線與x軸交于點D，且|DP|=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，在三角形中由勾股定理列出等式，根據(jù)已知的焦距大小，即可求得橢圓方程；
（2）先設(shè)直線方程y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程求得P點坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出直線PD的方程，從而求得D點坐標(biāo)，又|DP|=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，根據(jù)兩點間的距離公式，即可求得k的值．

解答 解：（1）過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，設(shè)右焦點的坐標(biāo)為（c，0），
依題意知，2c=2，即c=1，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+1}\\{（b-\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+1=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，又b＞1，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)過橢圓C的右焦點的直線l的方程為y=k（x-1），（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=-$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，
∵P為線段AB的中點，則可得點P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$），
又直線PD的斜率為-$\frac{1}{k}$，直線PD的方程為y+$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
令y=0得，x=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
又∵點D（$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
∴丨PD丨=$\sqrt{（\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{3k}{3+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，
化簡得17k⁴+k²-18=0，解得：k²=1，故k=1或k=-1，
k的值±1．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式及兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．