已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
1
n+1
，前n項(xiàng)和為Sn．若對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式S2n-Sn＞
m
16
恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為
 
．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由已知條件，推導(dǎo)出S2n-Sn=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
，設(shè)bn=S2n-Sn，推導(dǎo)出bn+1-bn=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
＞0，得到{bn}的最小值是b1，由此能求出結(jié)果．
解答： 解：∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
1
n+1
，前n項(xiàng)和為Sn．
Sn=a1+a2+a3+…+an，
S2n=a1+a2+a3+…+an+an+1+…+a2n，
∴S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n
=（
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n+1
）-（
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
）
=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
，
設(shè)bn=S2n-Sn，
則bn+1-bn=（
1
n+3
+
1
n+4
+…+
1
2n+1
+
1
2n+2
+
1
2n+3
）-（
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
）
=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
＞0，
∴{bn}是遞增數(shù)列
∴{bn}的最小值是b1，
∵不等式S2n-Sn＞
m
16
恒成立，∴b1＞
m
16
．
b1=S2-S1=（a
 1
 
 
+a2）-a1=a2=
1
3
，
∴
1
3
＞
m
16
，解得m＜
16
3
．
∴m的最大值是5．
故答案為：5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法和應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
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1
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．

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3
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