Question

20．已知定義域在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），在（0，+∞）上是增函數(shù)且f（x）＜0，則F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在 （-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 由f（-x）=-f（x）便知f（x）為奇函數(shù)，從而得到f（x）在（-∞，0）為減函數(shù)，且f（x）＞0，這樣便能夠判斷出F（x）在（-∞，0）也為增函數(shù)，可利用單調(diào)性的定義進行證明：可設(shè)x₁＜x₂＜0，通過作商證明$\frac{F（{x}_{1}）}{F（{x}_{2}）}＞1$即可．

解答 解：根據(jù)條件知，f（x）為奇函數(shù)，在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（x）＞0；
∴可看出F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在（-∞，0）為減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂＜0，則：
$\frac{F（{x}_{1}）}{F（{x}_{2}）}=\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$；
∵f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，且f（x）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}＞1$；
∴$\frac{F（{x}_{1}）}{F（{x}_{2}）}＞1$，F(xiàn)（x₂）＞0；
∴F（x₁）＞F（x₂）；
∴F（x）在（-∞，0）為減函數(shù)．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點，以及對稱區(qū)間上的函數(shù)值的特點，根據(jù)奇函數(shù)的定義證明一函數(shù)為奇函數(shù)的方法，作商比較法的運用．