Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-14x+mn=0的兩個(gè)根．
（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（I）做出輔助線，根據(jù)所給的AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-14x+mn=0的兩個(gè)根，得到比例式，根據(jù)比例式得到三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到結(jié)論．
（II）根據(jù)所給的條件做出方程的兩個(gè)根，即得到兩條線段的長(zhǎng)度，取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH，根據(jù)四點(diǎn)共圓得到半徑的大小．
解答：解：（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）m=4，n=6時(shí)，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2，x₂=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH．
∵C，B，D，E四點(diǎn)共圓，
∴C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12-2）=5．
故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理，考查與圓有關(guān)的比例線段，考查一元二次方程的解，考查四點(diǎn)共圓的判斷和性質(zhì)，本題是一個(gè)幾何證明的綜合題．