Question

已知中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的一個焦點在拋物線y²=4

3

x的準(zhǔn)線上，且橢圓C過點（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點A為橢圓C的右頂點，過點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF與直線x=3分別交于不同的兩點M，N，求

EM

•

FN

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依題意可得a、b、c的方程組，解之可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點A的坐標(biāo)為（2，0）．（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)點E在x軸上方，可得

EM

•

FN

=1；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，寫直線的方程，聯(lián)立方程組，消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系表示出向量的數(shù)量積為1+

1

16k2+4

，由k的范圍可得其范圍，綜合可得．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線y²=4

3

x的準(zhǔn)線方程為：x=-

3

…（1分）
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=

3

依題意得

a2=b2+3 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得a²=4，b²=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）顯然點A的坐標(biāo)為（2，0）．．
（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)點E在x軸上方，
易得E（1，

3

2

），F(xiàn)（1，-

3

2

），M（3，-

3

2

），N（（3，

3

2

），
所以

EM

•

FN

=1．…（5分）
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），顯然k=0時，不符合題意，
E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
y=k（x-1）代入橢圓方程可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．…（6分）
則x₁+x₂=

8k2

4k2+1

，x₁x₂=

4k2-4

4k2+1

．…（7分）
直線AE，AF的方程分別為：y=

y1

x1-2

（x-2），y=

y2

x2-2

（x-2），
令x=3，則M（3，

y1

x1-2

），N（3，

y2

x2-2

）．
所以

EM

=（3-x₁，

y1(3-x1)

x1-2

），

FN

=（3-x₂，

y2(3-x2)

x2-2

）．…（9分）
所以

EM

•

FN

=（3-x₁）（3-x₂）+

y1(3-x1)

x1-2

•

y2(3-x2)

x2-2

=（3-x₁）（3-x₂）+[1+k2•

(x1-1)(x2-1)

(x1-2)(x2-2)

]
=1+

1

16k2+4

．…（11分）
因為k²＞0，所以16k²+4＞4，所以1＜1+

1

16k2+4

＜

5

4

，即

EM

•

FN

∈（1，

5

4

）．
綜上所述，

EM

•

FN

=的取值范圍是[1，

5

4

）．…（13分）

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．