如圖是邊長為1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距離1所得的圖形,M是底面BC邊的中點.
(1)求二面角B1-AM-B的大;
(2)證明:直線A1C∥平面MAB1
(3)求直線A1C到平面MAB1的距離.
分析:(1)先找出二面角B1-AM-B的平面角.根據(jù)△ABC是正三角形,M是BC邊的中點,可得AM⊥BC,利用BB1⊥底面ABC,所以B1M⊥AM,從而∠B1MB為二面角B1-AM-B的平面角,故可求.
(2)證明線面平行的關(guān)鍵是證明直線A1C平行于平面MB1A內(nèi)的一條直線.設(shè)O是A1B與B1A的交點,證明A1C∥OM即可;
(3)先證明平面MAB1⊥平面CB1,過點C作CE⊥B1M于E,則CE⊥平面MAB1,從而線段CE的長即直線A1C到平面MAB1的距離,由△CME∽△BMB1,即可求出直線A1C到平面MAB1的距離,
解答:(1)解:依題意  
∵△ABC是正三角形,M是BC邊的中點
∴AM⊥BC,
又BB1⊥底面ABC,所以B1M⊥AM
∴∠B1MB為二面角B1-AM-B的平面角
在Rt△B1MB中,BB1=1,BM=
1
2

∴tan∠B1MB=
1
1
2
=2,
∴二面角B1-AM-B的大小等于arctan2.
(2)證明:正三棱柱的側(cè)面是正方形,設(shè)O是A1B與B1A的交點,則O是A1B的中點,
連接OM,
∵M是底面BC邊的中點,所以A1C∥OM,
∵OM?平面MAB1,A1C?平面MB1A
所以直線A1C∥平面MB1A
(3)解:∵AM⊥BC,AM⊥BB1,BC∩BB1=B
∴AM⊥平面CB1,
∵AM?平面MA B1
所以平面MAB1⊥平面CB1
過點C作CE⊥B1M于E,則CE⊥平面MAB1
∵直線A1C∥平面MAB1
所以線段CE的長即直線A1C到平面MAB1的距離,
∵∠B1BM=∠E,∠B1MB=∠CME
∴△CME∽△BMB1,
∴CE=
BB1•CM
B1M
=
1
2
5
2
=
5
5

∴直線A1C到平面MAB1的距離
5
5
點評:本題以三棱柱為載體,考查線面平行,考查面面角,考查線面距離,正確運用線面平行的判定定理,合理地轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點,截面DEF∥底面ABC,且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)
(1)證明:P-ABC為正四面體;
(2)若PD=PA=
12
求二面角D-BC-A的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和?若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,邊長為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,現(xiàn)給出下列命題,其中正確的命題有
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
.(填上所有正確命題的序號) 
(1)動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上;
(2)三棱錐A′-FED的體積有最大值;
(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED;
(4)異面直線A′E與BD不可能互相垂直.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(04年上海卷)(16分)

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)     證明:P-ABC為正四面體;

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(3)     設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直

平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構(gòu)造

出這樣的一個直平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河北省唐山市高三第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形,底面。

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)若直線PC與平面PDE所成角為,求三棱錐高的大小。

 

 

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(本小題滿分14分)

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)求證:P-ABC為正四面體;

(2)棱PA上是否存在一點M,使得BM與面ABC所成的角為45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,請說明理由。

(3)設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和,并且該平行六面體的一條側(cè)棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個平行六面體,并給出證明;若不存在,請說明理由.

 

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