Question

【題目】卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（叫焦點(diǎn)）的距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對(duì)卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，設(shè)F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，|PF1||PF2|＝a2（a是常數(shù)）．得出卡西尼卵形線的相關(guān)結(jié)論：①該曲線既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形；②若a＝c，則曲線過(guò)原點(diǎn)；③若0＜a＜c，其軌跡為線段．其中正確命題的序號(hào)是_____．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

設(shè)，得到 ，得到，再對(duì)三個(gè)選項(xiàng)加以驗(yàn)證，即可求解，得到答案.

由題意設(shè)P（x，y），則，

即[（x+c）2+y2][（x﹣c）2+y2]＝a4，

對(duì)于①中，因?yàn)榘逊匠讨械?/span>x被﹣x代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；

把方程中的y被﹣y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；

把方程中的x被﹣x代換，y被﹣y 代換，方程不變，

故此曲線是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，所以是正確的．

對(duì)于②中，若a＝c，（0，0）代入，方程成立則曲線過(guò)原點(diǎn)，所以是正確的；

對(duì)于③中，因?yàn)椋?/span>|PF1|+|PF2|）min＝2c，（當(dāng)且僅當(dāng)，|PF1|＝|PF2|＝c時(shí)取等號(hào)），

所以（|PF1||PF2|）min＝c2，所以若0＜a＜c，則曲線不存在，所以不正確．

故答案為：①②