Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1，
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）寫出該函數(shù)x∈[-π，

π

2

]的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出它的最小正周期．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，結(jié)合x∈[-π，

π

2

]，可得函數(shù)的減區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸求得函數(shù)取得最大值及相應(yīng)x的取值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
再根據(jù)x∈[-π，

π

2

]，可得函數(shù)的減區(qū)間為[-

11π

12

，-

5π

12

][

π

12

，

π

2

]．
（3）當(dāng)2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，即 x=kπ+

π

12

，k∈z時(shí)，函數(shù)取得最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的增區(qū)間和最大值，屬于中檔題．