Question

4．已知向量$\overrightarrow m=（a，b，0），\overrightarrow n=（c，d，1）$其中a²+b²=c²+d²=1，現(xiàn)有以下命題：
（1）向量$\overrightarrow n$與z軸正方向的夾角恒為定值（即與c，d無(wú)關(guān) ）；
（2）$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值為$\sqrt{2}$；
（3）$\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞$（$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的夾角）的最大值為$\frac{3π}{4}$；
（4）若定義$\overrightarrow u×\overrightarrow v=|{\overrightarrow u}|•|{\overrightarrow v}|sin\left?{\overrightarrow u，\overrightarrow v}\right＞$，則$|{\overrightarrow m×\overrightarrow n}|$的最大值為$\sqrt{2}$．
其中正確的命題有（1）（3）（4）．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 （1）取z軸的正方向單位向量$\overrightarrow{α}$，求出$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{α}$的夾角即可判斷命題正確；
（2）計(jì)算$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ac+bd，利用不等式求出最大值即可判斷命題錯(cuò)誤；
（3）利用數(shù)量積求出$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$夾角的最大值，即可判斷命題正確；
（4）根據(jù)定義求出$\overrightarrow{m}$×$\overrightarrow{n}$的最大值即可判斷命題正確．

解答 解：（1）取z軸的正方向單位向量$\overrightarrow{α}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{α}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{α}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{α}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}{+1}^{2}}×1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{n}$與z軸正方向的夾角恒為定值$\frac{π}{4}$，命題正確；
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ac+bd≤$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}{+d}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{+b}^{2}{+d}^{2}}{2}$=$\frac{1+1}{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d時(shí)取等號(hào)，因此$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最大值為1，命題錯(cuò)誤；
（3）由（2）可得：|$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$|≤1，∴-1≤$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$≤1，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{ac+bd}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}•\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}{+1}^{2}}}$≥-$\frac{1}{1×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞的最大值是$\frac{3π}{4}$，命題正確；
（4）由（3）可知：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$≤＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤$\frac{3π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤1，
∴$\overrightarrow{m}$×$\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|×|$\overrightarrow{n}$|×sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤1×$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$，命題正確．
綜上可知：正確的命題序號(hào)是（1）（3）（4）．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，也考查了推理與計(jì)算能力，屬于難題．