Question

已知圓O：x²+y²=4與直線l：y=x+b，在x軸上有點P（3，0），
（1）當實數(shù)b變化時，討論圓O上到直線l的距離為2的點的個數(shù)；
（2）若圓O與直線l交于不同的兩點A，B，且△APB的面積S=

9

2

tan∠APB，求b的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）利用點到直線的距離公式表示出圓心O到直線l的距離d，分類討論d與r的大小即可得出圓O上到直線l的距離為2的點的個數(shù)；
（2）利用三角形的面積公式表示出三角形APB的面積，代入已知的等式中整理求出

PA

•

PB

=9，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂），利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關系式（i），聯(lián)立直線與圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，表示出x₁x₂，x₁+x₂，y₁y₂，代入（i）中計算求出b的值即可．

解答： 解：（1）圓心O（0，0）到直線l：y=x+b的距離為d=

|b|

2

，
則當d=

|b|

2

＞4，即|b|＞4

2

時，個數(shù)為0；
當d=

|b|

2

=4，即|b|=4

2

時，個數(shù)為1；
當d=

|b|

2

＜4，即|b|＜4

2

時，個數(shù)為2；
（2）由S=

9

2

tan∠APB=

1

2

PA•PB•sin∠APB，得到PA•PB•cos∠APB=9，即

PA

•

PB

=9，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂），
則（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=9，
即x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0（i），
聯(lián)立直線與圓方程得：

y=x+b x2+y2=4

，
消去y得2x²+2bx+b²-4=0，
則

△=32-4b2＞0 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，即

b2＜8 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，
將y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=

b2

2

-2，代入（i）得b²+3b-4=0，
變形得：（b+4）（b-1）=0，
解得：b=-4或b=1，
由于b²＜8，得到b=1．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及點到直線的距離公式，弄清題意是解本題的關鍵．