Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項(xiàng)和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證{b_n}是等比數(shù)列
（2）設(shè)Cn=

an

2n

，求證{C_n}是等差數(shù)列
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式an=

sn-sn-1，n≥2 s1，n=1

可把已知轉(zhuǎn)化為a_n+1=4a_n-2a_n-1，從而有

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=2，從而可得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列
（2）由（1）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，要證數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列?cn+1- cn=

an+1

2n+1

-

an

2n

為常數(shù)，把已知代入即可
（3）由（2）可求a_n=（3n-4）•2^n-2，代入s_n+1=4a_n+2可求s_n+1，進(jìn)而求出s_n

解答：解：（1）S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即：

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=2 (n≥2)且b₁=a₂-2a₁=3
∴{b_n}是等比數(shù)列
（2）{b_n}的通項(xiàng)b_n=b₁•q^n-1=3•2^n-1
∴Cn+1-Cn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

=

3

4

(n∈N*)
又C1=

a1

2

=

1

2

∴{C_n}為等差數(shù)列
（3）∵C_n=C₁+（n-1）•d
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

3

4

∴a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）
S_n+1=4•a_n+2=4•（3n-1）•2^n-2+2=（3n-1）•2ⁿ+2
∴S_n=（3n-4）2^n-1+2（n∈N^*）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用遞推公式轉(zhuǎn)化“和”與“項(xiàng)”進(jìn)而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用構(gòu)造證明等差（等比數(shù)列）也是數(shù)列中的重點(diǎn)，要注意掌握運(yùn)用．