Question

在平面直角坐標系中，點P是直線 l：x=-

1

2

上一動點，點 F（

1

2

，0），點Q為PF的中點，點M滿足MQ⊥PF，且 

MP

=λ

OF

（λ∈R）．過點M作圓 （x-3）²+y²=2的切線，切點分別為S，T，則|ST|的最小值為（　　）

• A、

  2 30

  5

• B、

  30

  5

• C、

  7

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由題意首先求出M的軌跡方程，然后在M滿足的曲線上設點，只要求曲線上到圓心的距離的最小值，即可得到|ST|的最小值．

解答：解：設M坐標為 M（x，y），由MP⊥l知 P（-

1

2

，y）；由“點Q為PF的中點”知 Q（0，

y

2

）；
又因為QM⊥PF，QM、PF斜率乘積為-1，即

y- y 2

x

=-

- 1 2 - 1 2

y

，
解得：y²=2x，
所以M的軌跡是拋物線，
設M（y²，

2

y），到圓心（3，0）的距離為d，d²=（y²-3）²+2y²=y⁴-4y²+9=（y²-2）²+5，
∴y²=2時，d_mln=

5

，此時的切線長為

( 5 )2- 2 2

=

3

，所以切點距離為2

3 × 2

5

=

2 30

5

；
∴|ST|的最小值為

2 30

5

；
故選A．

點評：本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關的距離的最小值求法，屬于中檔題．