Question

已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））的切線方程．
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．
（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的伴隨切線．當(dāng)a=2時，已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的伴隨切線l的方程．

Answer 1

（I）當(dāng)a=3時，f（x）=3x-2lnx，則f（1）=3，f′(x)=3-

2

x

∴f'（1）=1
∴切線方程為y-3=x-1即x-y+2=0…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）沒有極值．        …（6分）
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
當(dāng)x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=

2

a

時，f（x）取得極小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＞0時，f（x）的極小值為2-2ln

2

a

，沒有極小值．…（9分）
（Ⅲ）當(dāng)a=2時，設(shè)切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率為kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

． …（10分）
由已知得，l∥AB，則2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，…（12分）
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．…（14分）