【題目】已知函數(shù).
(1)求在區(qū)間上的最大值;
(2)若過點存在3條直線與曲線相切,求t的取值范圍;
(3)問過點分別存在幾條直線與曲線相切?(只需寫出結(jié)論)
【答案】
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)等于0求出,再代入原函數(shù)解析式,最后比較大小,即可;(2)設(shè)切點,由相切得出切線方程,然后列表并討論求出結(jié)果;(3)由(2)容易得出結(jié)果.
(1)由得,令,得或,
因為, , , ,
所以在區(qū)間上的最大值為.
(2)設(shè)過點P(1,t)的直線與曲線相切于點,則
,且切線斜率為,所以切線方程為,
因此,整理得: ,
設(shè) ,則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”, =,
與的情況如下:
0 | 1 | ||||
+ | 0 | 0 | + | ||
t+3 |
所以, 是的極大值, 是的極小值,
當(dāng),即時,此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點,所以
至多有2個零點,
當(dāng), 時,此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點,所以
至多有2個零點.
當(dāng)且,即時,因為,,
所以分別為區(qū)間和上恰有1個零點,由于在區(qū)間和上單調(diào),所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.
綜上可知,當(dāng)過點存在3條直線與曲線相切時,t的取值范圍是.
(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線相切;
過點B(2,10)存在2條直線與曲線相切;
過點C(0,2)存在1條直線與曲線相切.
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【題目】將一顆骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數(shù),求:
(1)兩數(shù)之和為5的概率;
(2)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx的最小正周期為π,x∈R,ω>0是常數(shù).
(1)求ω的值;
(2)若f(+)= , θ∈(0,),求sin2θ.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;
(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.
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【題目】若在曲線(或y=f(x))上兩個不同點處的切線重合,則稱這條切線為曲線f(x,y)=0或y=f(x)的“自公切線”。
下列方程:
①;
②;
③y=3sinx+4cosx;
④
對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【題目】已知圖甲中的圖象對應(yīng)的函數(shù)y=f(x),則圖乙中的圖象對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是( 。
A.y=f(|x|)
B.y=|f(x)|
C.y=f(﹣|x|)
D.y=﹣f(|x|)
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【題目】已知圓過點,且圓心在直線上,過點的直線交圓于兩點,過點分別做圓的切線,記為.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)求證:直線的交點都在同一條直線上,并求出這條直線的方程.
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【題目】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運動;男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運動.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)所給的獨立檢驗臨界值表,你最多能有多少把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?附:獨立檢驗臨界值表
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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