Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1），（2）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以有等量關(guān)系，本題難點(diǎn)在化簡對數(shù)式，由易得，關(guān)鍵會(huì)化簡，（2）本題第一個(gè)難點(diǎn)是化簡方程，即，這里主要會(huì)化簡從而再利用對數(shù)性質(zhì)運(yùn)算得：；第二個(gè)難點(diǎn)是“方程只有一個(gè)根”轉(zhuǎn)化為“二次方程只有一個(gè)正根”，這需明確指數(shù)函數(shù)的范圍，即；第三個(gè)難點(diǎn)是分類討論二次方程只有一個(gè)正根的情形的等價(jià)條件.主要是兩個(gè)不等根的情況討論,需結(jié)合運(yùn)用韋達(dá)定理.

試題解析：【解析】
（1）由題意知：任意有，

即恒成立．

∴恒成立，化簡得對恒成立，∴． 5分

（2）∵函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程有且只有一個(gè)實(shí)根，

化簡得：方程有且只有一個(gè)實(shí)根，

令，則方程有且只有一個(gè)正根. 7分

①當(dāng)時(shí)，不合題意； 8分

②當(dāng)時(shí)，

(ⅰ)若，則.

若，則不合題意；若，則合題意； 10分

(ⅱ)若即時(shí)，

由題意，方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即，解得，∴. 12分

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 13分

考點(diǎn)：偶函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，二次方程根的個(gè)數(shù).