Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，
所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0．
所以當(dāng)a≤0時(shí)f′（x）＞0恒成立，此時(shí)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以在（0,1）上f(x)<0,這與f（x）≥0矛盾；
當(dāng)a＞0時(shí)令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，即f（x）min=f（a），
又因?yàn)閒（x）min=f（a）≥0，
所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)a=1時(shí)f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，
所以ln（x+1）≤x當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*,
所以 ，k∈N* ．
一方面，因?yàn)? + +…+ =1﹣ ＜1，
所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；
另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，
同時(shí)當(dāng)n≥3時(shí)，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
因?yàn)閙為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，
所以m的最小值為3．
【解析】（Ⅰ）通過對函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求導(dǎo)，分a≤0、a＞0兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)f′（x）與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，進(jìn)而取特殊值可知ln（1+ ）＜ ，k∈N* ． 一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且當(dāng)n≥3時(shí)，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；前項(xiàng)和公式：才能得出正確答案．