Question

若有窮數(shù)列a₁，a₂…a_n（n是正整數(shù)），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1…a_n=a₁即a_i=a_n-i+1
（i是正整數(shù)，且1≤i≤n），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列{b_n}是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列，b₁=2，b₄=11，試寫出{b_n}的每一項(xiàng)
（2）已知{c_n}是項(xiàng)數(shù)為2k-1（k≥1）的對(duì)稱數(shù)列，且c_k，c_k+1…c_2k-1構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)列{c_n}的前2k-1項(xiàng)和為S_2k-1，則當(dāng)k為何值時(shí)，S_2k-1取到最大值？最大值為多少？
（3）對(duì)于給定的正整數(shù)m＞1，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的對(duì)稱數(shù)列，使得1，2，2²…2^m-1成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)m＞1500時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和S₂₀₀₈

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè){b_n}的公差為d，由b₁，b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列求解d從而求得數(shù)列{b_n}，
（2）先得到S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，用二次函數(shù)求解，
（3）按照1，2，2²…2^m-1是數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)按照定義，用組合的方式寫出來所有可能的數(shù)列，再按其數(shù)列的規(guī)律求前n項(xiàng)和取符合條件的一組即可．
解答：解：（1）設(shè){b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，∴?數(shù)列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）S_2k-1=c₁+c₂++c_k-1+c_k+c_k+1++c_2k-1=2（c_k+c_k+1++c_2k-1）-c_k，
S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴?當(dāng)k=13時(shí)，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為626．
（3）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是：
①1，2，2²，，2^m-2，2^m-1，2^m-2，，2²，2，1；
②1，2，2²，，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，，2²，2，1，2，2²，，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，，2²，2，1，1，2，2²，，2^m-2，2^m-1．
對(duì)于①，當(dāng)m≥2008時(shí)，S₂₀₀₈=1+2+2²++2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1．
當(dāng)1500＜m≤2007時(shí)，S₂₀₀₈=1+2++2^m-2+2^m-1+2^m-2++2^2m-2009=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1．
對(duì)于②，當(dāng)m≥2008時(shí)，S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1．
當(dāng)1500＜m≤2007時(shí)，S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1．
對(duì)于③，當(dāng)m≥2008時(shí)，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
當(dāng)1500＜m≤2007時(shí)，S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3．
對(duì)于④，當(dāng)m≥2008時(shí)，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
當(dāng)1500＜m≤2007時(shí)，S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2．
點(diǎn)評(píng)：本題一道新定義題，這樣的題做法是嚴(yán)格按照定義要求，將其轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)和方法去解決，本題涉及到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和，構(gòu)造數(shù)列等知識(shí)．