【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E為棱PD中點.
(1)求證:PD⊥平面ABE;
(2)若F為AB中點, ,試確定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為-

【答案】
(1)證明:∵PA⊥底面ABCD,AB底面ABCD,∴PA⊥AB,

又∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD,PA∩AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD,

∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E為PD中點,∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE平面ABE,AB平面ABE,∴PD⊥平面ABE


(2)以A為原點,以 為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標系A﹣BDP,令|AB|=2,

則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(0,1,1),F(xiàn)(1,0,0), , , ,M(2λ,2λ,2﹣2λ)

設平面PFM的法向量 ,即

設平面BFM的法向量 ,

, ,解得


【解析】(I)證明AB⊥平面PAD,推出AB⊥PD,AE⊥PD,AE∩AB=A,即可證明PD⊥平面ABE.(II) 以A為原點,以 為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標系A﹣BDP,求出相關點的坐標,平面PFM的法向量,平面BFM的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

練習冊系列答案
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(2)求這4個人中去參加甲游戲人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
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