Question

如圖所示，已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)恰好是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為

2

-1

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，連接AF'，可得Rt△AFF'中，AF=FF'=p，從而AF'=

2

p，再根據(jù)橢圓的定義，可得AF+AF'=2a=（1+

2

）p，最后用橢圓的離心率的公式求出該橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，連接AF'，
∴F（

p

2

，0），F(xiàn)'（-

p

2

，0），可得焦距FF'=p=2c，（c=

a2-b2

為橢圓的半焦距）
對(duì)拋物線方程y²=2px令x=

p

2

，得y²=p²，所以AF=|y_A|=p
∴Rt△AFF'中，AF=FF'=p，可得AF'=

2

p
再根據(jù)橢圓的定義，可得AF+AF'=2a=（1+

2

）p，
∴該橢圓的離心率為e=

c

a

=

2c

2a

=

p

(1+ 2 )p

=

2

-1
故答案為：

2

-1

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，并且兩曲線的通徑合在一起，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．