Question

已知函數(shù)f（x）=

2X-1

2X+1

（1）判斷f（x）的奇偶性；          
（2）求函數(shù)的值域；
（3）判斷并用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）用函數(shù)的奇偶性定義判斷，先求函數(shù)的定義域，看是否關(guān)于原點對稱，若定義域關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）是相等還是相反即可
（2）可運用分離常數(shù)的辦法求此函數(shù)的值域，將函數(shù)f（x）=

2X-1

2X+1

等價轉(zhuǎn)化為f（x）=1-

2

2X+1

，再由復合函數(shù)值域的求法即換元法，求此函數(shù)值域即可
（3）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），并利用指數(shù)的運算性質(zhì)，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，即可證明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為R，
f（-x）+f（x）=

2-X-1

2-X+1

+

2X-1

2X+1

=

(2X-1)•(2-X+1)+(2-X-1)•(2X+1)

(2X+1)•(2-X+1)

=0
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)  
 （2）∵f（x）=

2X-1

2X+1

=1-

2

2X+1

設(shè)t=a^x，則t＞0，y=1-

2

t+1

的值域為（-1，1）
∴該函數(shù)的值域為（-1，1）
（3）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)
證明：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

2X1-1

2X1+1

-

2X2-1

2X2+1

=

2(2X1-2X2)

(2X1+1)•(2X2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴a^x₁-a^x₂＜0，a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，
∴

2(2X1-2X2)

(2X1+1)•(2X2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)

點評：本題考察了函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法，求函數(shù)值域的方法和證明函數(shù)單調(diào)性的方法，解題時要準確把握基本概念，熟練的運用轉(zhuǎn)化化歸思想解題