Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，g（x）=

msinxcosx

sinx+cosx-1

．
（1）問a取何值時(shí)，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有兩解；
（2）若對任意的x₁∈（

1

2

，1），總存在x∈R，使f（x₁）=g（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有兩解?2sin²x-3sinx+1=a-sinx，2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解，令t=sinx，對2t²-2t+1=a在[-1，1]上的解的情況分類討論即可求得a的取值范圍；
（2）依題意，可求得f（x₁）的值域是[-

1

8

，0），令μ=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），再對g（x）=m（t）=

m(t+1)

2

（-

2

≤μ≤

2

，μ≠1）中m的范圍分m=0、m＞0與m＜0討論，利用f（x₁）的值域是g（x）值域的子集即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有兩解，即2sin²x-3sinx+1=a-sinx，2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解．
令t=sinx，即2t²-2t+1=a在[-1，1]上的解的情況如下：
①當(dāng)t=-1時(shí)，x有唯一解x=

3π

2

；
②當(dāng)t=1時(shí)，x有唯一解x=

π

2

；
③當(dāng)△=0時(shí)，a=

1

2

，t=

1

2

，x=

π

6

或

5π

6

…3
④令f（t）=2t²-2t+1-a，
當(dāng)f（1）•f（-1）＜0即（5-a）（1-a）＜0，即a∈（1，5）時(shí)有兩解…5
綜上，a的取值范圍是a∈（1，5）或a=

1

2

…6
（2）∵x₁∈（

1

2

，1），
∴f（x₁）的值域是[-

1

8

，0），
對于g（x）=

msinxcosx

sinx+cosx-1

，令μ=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
則g（x）=m（t）=

m(t+1)

2

（-

2

≤μ≤

2

，μ≠1）…7
當(dāng)m=0時(shí)，顯然不滿足題意，
當(dāng)m＞0時(shí)g（x）的值域?yàn)閇

m(1- 2 )

2

，m）∪（m，

m(1+ 2 )

2

]，
當(dāng)m＜0時(shí)g（x）的值域?yàn)閇

m(1+ 2 )

2

，m）∪（m，

m(1- 2 )

2

]，…9
依題意知，f（x₁）的值域是g（x）值域的子集，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，只需

m(1- 2 )

2

≤-

1

8

，解得m≥

2 +1

4

…10
當(dāng)m＜0時(shí)，只需m＜-

1

8

…11
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

1

8

）∪[

2 +1

4

，+∞）…12

點(diǎn)評：（1）主要考查了以三角函數(shù)為載體轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，突出分類討論思想的應(yīng)用；
（2）考查了三角函數(shù)的值域的求解及分類討論思想的應(yīng)用體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，方程與函數(shù)的思想的應(yīng)用，屬于難題．