Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．
（1）當(dāng)a=﹣ ，c= 時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)c= +1時(shí)，若f（x）≥ 對(duì)x∈（c，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（x1 ， f（x1））、Q（x2 ， f（x2））兩處的切線分別為l1、l2 ． 若x1= ，x2=c，且l1⊥l2 ， 求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) ，求導(dǎo)得

當(dāng) ， 時(shí)， ，

若 ，則 恒成立，所以f（x）在 上單調(diào)減；

若 ，則 ，令f′（x）=0，解得 或 （舍），

當(dāng) 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在 上單調(diào)減；

當(dāng) 時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在 上單調(diào)增．

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是 ，單調(diào)增區(qū)間是

（2）解：當(dāng)x＞c， 時(shí)， ，而 ，所以

當(dāng)c＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上單調(diào)減；

當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)增．

所以函數(shù)f（x）在（c，+∞）上的最小值為 ，

所以 恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，

又由 ，得a＞﹣2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，﹣1]

（3）解：由l1⊥l2知， ，而 ，則 ，

若 ，則 ，所以 ，

解得 ，不符合題意；

故 ，則 ，

整理得， ，由c＞0得， ，

令 ，則 ，t＞2，所以 ，

設(shè) ，則 ，

當(dāng) 時(shí)，g′（t）＜0，g（t）在 上單調(diào)減；

當(dāng) 時(shí)，g′（t）＞0，g（t）在 上單調(diào)增．

所以，函數(shù)g（t）的最小值為 ，故實(shí)數(shù)c的最小值為

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≥ 對(duì)x∈（c，+∞）恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可；（3）由l1⊥l2知， ，得到 ，分類討論，再由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可得到實(shí)數(shù)c的最小值．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．