【題目】設(shè)冪函數(shù)f(x)=(a﹣1)xk(a∈R,k∈Q)的圖象過點 .
(1)求k,a的值;
(2)若函數(shù)h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b在[0,2]上的最大值為3,求實數(shù)b的值.
【答案】
(1)解:設(shè)冪函數(shù)f(x)=(a﹣1)xk(a∈R,k∈Q)的圖象過點 .
則a﹣1=1,即a=2,此時f(x)=xk,
即 =2,即 =2,解得k=4
(2)解:∵a=2,k=4,
∴f(x)=x4,
則h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b=﹣x4+2bx2+1﹣b
=﹣(x2﹣b)2+1﹣b+b2,
設(shè)t=x2,則0≤t≤4,
則函數(shù)等價為g(t)=﹣(t﹣b)2+1﹣b+b2,
若b≤0,則函數(shù)g(t)在[0,4]上單調(diào)遞減,最大值為g(0)=1﹣b=3,即b=﹣2,滿足條件.
若0<b≤4,此時當(dāng)t=b時,最大值為g(b)=1﹣b+b2=3,
即b2﹣b﹣2=0,解得b=2或b=﹣1(舍).
若b>4,則函數(shù)g(t)在[0,4]上單調(diào)遞增,最大值為g(4)=3b﹣15=3,即3b=18,b=6,滿足條件
綜上b=﹣2或b=2或b=6
【解析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進行求解即可求k,a的值;(2)若函數(shù)h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b在[0,2]上的最大值為3,利用換元法轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)b的值.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)y1=loga(3x+1),y2=loga(﹣3x),其中a>0且a≠1.
(1)若y1=y2 , 求x的值;
(2)若y1>y2 , 求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點,求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè)為正實數(shù),且,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=log (x2﹣9)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(0,+∞)
B.(﹣∞,0)
C.(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.
(1)當(dāng)a=﹣ ,c= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)c= +1時,若f(x)≥ 對x∈(c,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在點P(x1 , f(x1))、Q(x2 , f(x2))兩處的切線分別為l1、l2 . 若x1= ,x2=c,且l1⊥l2 , 求實數(shù)c的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
收入x (萬元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y (萬元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
根據(jù)如表可得回歸直線方程y= x+ ,其中 =0.76, = ﹣ ,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶收入為20萬元家庭年支出為( )
A.11.4萬元
B.11.8萬元
C.15.2萬元
D.15.6萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四種說法:
①函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=logaax(a>0且a≠1)的定義域相同;
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同;
③函數(shù)y= + 與y= 都是奇函數(shù);
④函數(shù)y=(x﹣1)2與y=2x﹣1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數(shù).
其中正確的序號是(把你認為正確敘述的序號都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4x+a2x+3,a∈R
(1)當(dāng)a=﹣4時,且x∈[0,2],求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x)>0在(0,+∞)對任意的實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +lnx,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(3)討論函數(shù)g(x)=f′(x)﹣x的零點個數(shù).
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