Question

【題目】如圖，直角梯形地塊ABCE，AF、EC是兩條道路，其中AF是以A為頂點(diǎn)、AE所在直線為對稱軸的拋物線的一部分，EC是線段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．計(jì)劃在兩條道路之間修建一個公園， 公園形狀為直角梯形QPRE（其中線段EQ和RP為兩條底邊）．記QP=x（km），公園面積為S（km2）．
（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求AF所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求面積S（km2）關(guān)于x（km）的函數(shù)解析式；
（Ⅲ）求面積S（km2）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)拋物線y2=2px ∵點(diǎn)F（4，2）在拋物線上，∴22=2p×4，∴2p=1，∴y2=x
（Ⅱ）設(shè)P（x2 ， x） 則QE=AE﹣AQ=4﹣x2
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4﹣x2+x （0＜x＜2）
（Ⅲ）S'（x）=﹣3x2+x+4令S'（x）=0則x=﹣1（舍去）或
當(dāng) 時，S'＞0，∴S（x）遞增；當(dāng) 時，S'＜0，∴S（x）遞減；
∴當(dāng) km時， km2

【解析】（Ⅰ）設(shè)拋物線y2=2px，根據(jù)點(diǎn)F（4，2）在拋物線上，可求AF所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）公園形狀為直角梯形QPRE，所以利用面積公式可求，應(yīng)注意x的取值范圍；（Ⅲ）先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，得 ，利用函數(shù)在（0，2）上是單峰函數(shù)，可求函數(shù)的最值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．